導函式兩個在一點的兩個單側極限存在且不等,等否推出原函式在那一點不可導?不能請舉個反例,可以請證明

時間 2023-01-25 08:48:13

1樓:

......

假設導函式在某點x0是你所說的情況,設導函式f(x),原函式f(x)

原函式f(x)=∫f(x)dx(假設可積,不可積原函式不存在當然在那一點不可導)

f'+(x0)=lim(δx->0+)[f(x0+δx)-f(x)]/δx

=lim(δx->0+)[∫(x0->x0+δx)f(x')dx']/δx (我把積分上下限寫在積分號後的括號裡)

既然lim(δx->0+)f(x0+δx)存在,記為i

則對任意小量ε,存在某個δ>0,使得0<δx<δ時,

|f(x0+δx)-i|<ε,

|f(x0+δx)-f(x)-iδx|

=|∫((x0->x0+δx)f(x')dx'-∫(x0->x0+δx)idx'|

<=∫(x0->x0+δx)|f(x')-i|dx'<εδx

|[f(x0+δx)-f(x)]/δx-i|<ε

因此,根據ε-δ語言

f'(+)(x0)=i=lim(δx->0+)f(x0+δx)成立

綜上可得,若原函式在該點附近存在,則其在該點的右導數存在且等於導函式在該點的右極限。同理可證,其在該點的左導數等於導函式在該點的左極限。

......

2樓:匿名使用者

例如f(x)=|x|;在x=0處時,兩個單側極限都存在在左側時,f'(x)=(-x)'=-1;

在右側時,f'(x)=(x)'=1;

所以,導函式兩個在一點的兩個單側極限存在且不等,這樣的函式是有的。

大學以後還會見到,處處連續但處處不可導的函式。

3樓:miss丶小紫

既然大學了,那就肯定知道必要條件吧.

如果b成立,那麼b的必要條件一定成立.

同樣,如果b的必要條件不成立,那麼b肯定不成立.(逆否命題^^希望你還記得)如圖

導函式一點的兩個單側極限存在且不等,等否推出原函式在那一點不可導?不能請舉個反例,可以請證明。

4樓:

可以證明,如果函copy數f(x)在點x=a兩側可導,並且導函式在點a的兩個單側極限存在,則它們必定相等。因此你問題中的條件不能成立。

(參見菲赫金哥爾茨著,葉彥牽等譯《微積分學教程》人教社1959年8月第二版第113節)

對不起,我把卷編號及其分冊編號寫掉了。

是第二版,第一卷,第一分冊, 第113節

5樓:miss丶小紫

因為你給的條件連必要條件都不是,就更不用說可以推出結論的充分條件了。

6樓:匿名使用者

舉不出反例,左右導數不等一定不可導

導函式在某點極限存在則原函式在這一點肯定可導,那導函式極限不存在

7樓:匿名使用者

注意導函式極限定理的前提條件是,f(x)在x0的某個鄰域連續,去心鄰域可導.不要

光記住結論,要記完整一句話好嗎?

在這個前提下,如果導函式f'(x)在x0處有極限,那麼f(x)在x0處必可導,並且導數就等於f'(x)的極限.這個定理說明如果f'(x)在某點有極限,則f'(x)在該點必連續,所以又叫做導函式連續定理.

這個定理的否命題是假的,即在大前提條件不變的情況下,導函式在某點不存在極限,不代表原函式在該點不可導.

例如f(x)=x²sin(1/x),x≠0.f(x)=0,x=0.這是一個分段函式,由於lim(x→0)f(x)=有界函式乘以無窮小=0=f(0),因此f(x)在r上是連續的.

當x≠0時,f'(x)=[x²sin(1/x)]'=2xsin(1/x)-cos(1/x).顯然當x→0時,f'(x)極限不存在,但根據導數的定義,f'(0)=lim(x→0)[f(x)-f(0)]/(x-0)=lim(x→0)xsin(1/x)=0,即f(x)在x=0處可導.所以否命題為假.

由於命題與其逆否命題等價,所以導函式在某點不存在極限,則原函式在該點不可導這句話是假的,那麼原函式在某點可導,則導函式在該點存在極限也是假的.這句話恰好是導函式連續定理的逆命題,逆命題為假,因此導函式極限存在只是原函式在該點可導的充分條件,而不是必要條件.

8樓:匿名使用者

導函式在某點極限存在則原函式在這一點肯定可導這一條就不成立啊

例如函式

f(x)=x²/x,其實這個函式就是分段函式f(x)=x(x≠0)這個函式的導函式是f'(x)=1(x≠0)很明顯,導函式在x=0處的極限是1,但是x=0是原函式f(x)=x²/x的間斷點,不可導。

所以導函式在某點極限存在則原函式在這一點肯定可導,這句話完全錯誤。

原函式在某點可導,能不能推出其導函式一定在該點極限存在。

9樓:匿名使用者

所謂的 “原函式” 一定是處處可導的,且其導函式的間斷點(若干有的話)必是第二類的,所以你的問題的回答是否定的。

本人有一個回答(http://zhidao.baidu.com/question/1302759951129896899.html ),供參考。

10樓:夜色_擾人眠

你說的意思是不是,f(x)的原函式在某點可導,則f(x)在該點極限存在?

答案是:不能。

f(x)在具有振盪間斷點的時候,f(x)是可能存在原函式的,也就是說,此時原函式可導,但是f(x)在間斷點處極限是不存在的

11樓:憶流年

不能,如果是分段函式呢?

請問導函式在某一點連續與否是否會影響原函式的可導性呢?按照原函式可導的定義的充要條件是函式的左右導 150

12樓:

是的,比如函式影象是一條折線,那麼折點處的斜率既能是點左側的斜率,又能是點右側的斜率,因此無法確定

13樓:機驪

簡單地說,導函式在某一點連續是原函式可導的充分不必要條件

14樓:保韶陽

這麼跟你說吧,導函式連續,原函式一定連續,原函式連續,導函式不一定連續,如f(x)=|x|,他的導函式就不連續

15樓:緲

首先,你的問題是存在爭議的:什麼叫導函式的性質影響其原函式的可導性?

這是一個因果問題,函式要可導,才有導函式;

如果都存在有導函式了,那麼原函式就是可導的,那根本就不是一個問題,因果別弄混;

這個問題應該這樣提:

一個函式的性質是否會影響其原函式存在性?

(或者說:一個函式的性質是否會影響其能否成為某個函式的導函式)按照你的推論是可取的,函式在某點存在非可去間斷點,它就不可能成為某個函式的導函式。

16樓:匿名使用者

你室友說的也是錯的,你說的也不怎麼對。

首先,記住“可導必連續,連續不一定可導”,也就是說,連續是個大前提,就好比你今天吃了東西是個前提,吃沒吃飽是另一回事。上述你說的“只要導函式連續的話,某一點的左右導數肯定是相等的”這句話大錯特錯,舉個反例:畫出y=|x|的圖你會發現它是連續的,但它在y軸左側導數為-1,右側導數為1,左右導數不相等,所以導數不存在。

其次,你說“如果導函式在一點不連續,只要不是可去間斷點,則原函式在這一點一定不可導”不夠確切,實際上只要它不連續,無論是什麼間斷點,它都不可導。

認真解答的,望採納

原函式可導為什麼導函式不一定連續?

17樓:夢色十年

原函式可導,

導函式不一定連續。

舉例說明如下:

當x不等於0時,f(x)=x^2*sin(1/x);

當x=0時,f(x)=0

這個函式在(-∞,+∞)處處可導。

導數是f'(x):

當x不等於0時,f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x);

當x=0時,f'(x)=lim=lim[xsin(1/x),x->0]=0

lim[f'(x),x->0]不存在,所以在x=0這一點處,f'(0)存在但f'(x)不連續。

18樓:0追愛

他們都沒說到點上,其實那裡可以用洛必達求導,到最後是求不出來結果的,所以不能用,用洛必達的話你算出來的是lim 2f’(x^2),就不能繼續算了,因為這個f’(x)你不知道是否連續,x趨近於0,值不一定是f(0),這個道理。

祝你考研順利!

19樓:千剎影舞華

原函式可導,導函式不一定連續。因為有些逗逼函式有跳躍間斷點。它強行令這個間斷點等於0。

函式就連續了。求導也可以求。左右導函式相等。

就說明可導。但是這個點的導函式還是個間斷點。也是強行讓間斷點等於算出來的值。

比如x^1.5 sin1/x

20樓:匿名使用者

首先,概念上有個問題

狄利克雷函式d(x)

x為有理數時 d(x)= 1

x為無理數時d(x)= 0

這個函式能幫你辨析一些模糊的概念。建構函式 f(x)= x²d(x) 你可以明顯發現。這個函式,除了在x=0處可導連續外,在其他x=0鄰域內都不連續。

樓主你遇到的這類題,往往要採用導數定義式去算,洛必達要用,要在x=x0的鄰域裡用。一點可導,無法使用洛必達,但是,一點可導,卻可以用導數定義式來算。湊導數定義式,然後再算,才是正確的解題步驟。

21樓:匿名使用者

不連續是在間斷點處不可導

如tanx在r上是不連續,tanx在連續處是可導的

22樓:匿名使用者

首先連續函式一定可積,這是一個被證明過的定理,這裡只想給一個具體解釋,至於定理的證明可以看相關的教材。我們知道微積分中研究函式的連續性、可微性和可積性。但連續,可微,可積這三個概念的強弱程度如何呢?

我們知道可微一定連續,連續一定可積。

在某點導函式連續,能推出原函式在該點領域內可導嗎?

23樓:匿名使用者

看copy

了你寫的一大堆,我 “ 已經崩潰”,確實看不懂,不懂你要表達的是啥意思?