收斂數列一定有界的問題

時間 2023-01-25 09:57:09

1樓:皖中明

對,收斂數列一定有界,但不一定上下界都有。有界是存在極限的必要條件,但有界不一定就有極限。

2樓:匿名使用者

收斂必有界,反之則不然。

3樓:匿名使用者

如果你取一個數列an = 1/n,它顯然收斂,而且最大值在n = 1的地方。

可以補充這麼一個看起來很怪異,但是細細一想又很顯然的引理:

對於給定的數列,假若任給一個實數p,總存在一個正整數n,使得|an| > p,那麼進一步地,對於任意給定的n0,一定可以找到這樣一個n*,使得它既滿足|an| > p,又滿足n* > n0。

換句話說,要是數列某個地方趨於無窮大了,這個地方必然在無窮遠處。

對於任意數列,任意給一段有限長區間,則這段區間上必有界。

原因很顯然。數列不像函式,數列能取到的值是有限的。所以只要給出一個有限長的區間,我總能一個一個順著找到最大值最小值。

因而數列要出現無窮大的趨近,只能在無窮遠出,因為此時這段區間上有無窮多個點,從而不能一個一個去找最值了。

函式則不一樣。所以收斂函式有界的說明中是說,如果函式在無窮遠處收斂,那麼必然存在一個足夠接近與無窮遠的區間,使得該區間上函式有界;如果函式在某點收斂,那麼必然存在一個該點的臨域,使得函式在該區間上有界。