關於導數的概念和性質及相關公式

時間 2023-01-25 08:51:09

1樓:匿名使用者

導數是微積分中的重要概念。編輯本段  導數定義為:當自變數的增量趨於零時,因變數的增量與自變數的增量之商的極限。

在一個函式存在導數時,稱這個函式可導或者可微分。可導的函式一定連續。不連續的函式一定不可導。

導數另一個定義:當x=x0時,f‘(x0)是一個確定的數。這樣,當x變化時,f'(x)便是x的一個函式,我們稱他為f(x)的導函式(derivative function)(簡稱導數)。

y=f(x)的導數有時也記作y',即 f'(x)=y'=lim⊿x→0[f(x+⊿x)-f(x)]/⊿x

物理學、幾何學、經濟學等學科中的一些重要概念都可以用導數來表示。如,導數可以表示運動物體的瞬時速度和加速度、可以表示曲線在一點的斜率、還可以表示經濟學中的邊際和彈性。

以上說的經典導數定義可以認為是反映區域性歐氏空間的函式變化。 為了研究更一般的流形上的向量叢截面(比如切向量場)的變化,導數的概念被推廣為所謂的“聯絡”。 有了聯絡,人們就可以研究大範圍的幾何問題,這是微分幾何與物理中最重要的基礎概念之一。

注意:1.f'(x)<0是f(x)為減函式的充分不必要條件,不是充要條件。

2.導數為零的點不一定是極值點。當函式為常值函式,沒有增減性,即沒有極值點。但導數為零。 求導數的方法編輯本段  (1)求函式y=f(x)在x0處導數的步驟:

① 求函式的增量δy=f(x0+δx)-f(x0)

② 求平均變化率

③ 取極限,得導數。

(2)幾種常見函式的導數公式:

① c'=0(c為常數);

② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈q);

③ (sinx)' = cosx;

④ (cosx)' = - sinx;

⑤ (e^x)' = e^x;

⑥ (a^x)' = (a^x) * ina (ln為自然對數)

⑦ (inx)' = 1/x(ln為自然對數)

⑧ (logax)'=1/(xlna) ,(a>0且a不等於1)

補充一下。上面的公式是不可以代常數進去的,只能代函式,新學導數的人往往忽略這一點,造成歧義,要多加註意。

(3)導數的四則運演算法則:

①(u±v)'=u'±v'

②(uv)'=u'v+uv'

③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2

(4)複合函式的導數

複合函式對自變數的導數,等於已知函式對中間變數的導數,乘以中間變數對自變數的導數--稱為鏈式法則。

導數是微積分的一個重要的支柱。牛頓及萊不苨茨對次做出了卓越的貢獻! 導數公式及證明編輯本段  這裡將列舉幾個基本的函式的導數以及它們的推導過程:

1.y=c(c為常數) y'=0

2.y=x^n y'=nx^(n-1)

3.y=a^x y'=a^xlna

y=e^x y'=e^x

4.f(x)=logax f'(x)=1/xlna (a>0且a不等於1,x>0)

y=lnx y'=1/x

5.y=sinx y'=cosx

6.y=cosx y'=-sinx

7.y=tanx y'=1/(cosx)^2

8.y=cotx y'=-1/(sinx)^2

9.y=arcsinx y'=1/√1-x^2

10.y=arccosx y'=-1/√1-x^2

11.y=arctanx y'=1/(1+x^2)

12.y=arccotx y'=-1/(1+x^2)

在推導的過程中有這幾個常見的公式需要用到:

1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]�6�1g'(x)『f'[g(x)]中g(x)看作整個變數,而g'(x)中把x看作變數』

2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^2

3.y=f(x)的反函式是x=g(y),則有y'=1/x'

證:1.顯而易見,y=c是一條平行於x軸的直線,所以處處的切線都是平行於x的,故斜率為0。

用導數的定義做也是一樣的:y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。

2.這個的推導暫且不證,因為如果根據導數的定義來推導的話就不能推廣到n為任意實數的一般情況。在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x這兩個結果後能用複合函式的求導給予證明。

3.y=a^x,

⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)

⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x

如果直接令⊿x→0,是不能匯出導函式的,必須設一個輔助的函式β=a^⊿x-1通過換元進行計算。由設的輔助函式可以知道:⊿x=loga(1+β)。

所以(a^⊿x-1)/⊿x=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β

顯然,當⊿x→0時,β也是趨向於0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。

把這個結果代入lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0a^x(a^⊿x-1)/⊿x後得到lim⊿x→0⊿y/⊿x=a^xlna。

可以知道,當a=e時有y=e^x y'=e^x。

4.y=logax

⊿y=loga(x+⊿x)-logax=loga(x+⊿x)/x=loga[(1+⊿x/x)^x]/x

⊿y/⊿x=loga[(1+⊿x/x)^(x/⊿x)]/x

因為當⊿x→0時,⊿x/x趨向於0而x/⊿x趨向於∞,所以lim⊿x→0loga(1+⊿x/x)^(x/⊿x)=logae,所以有

lim⊿x→0⊿y/⊿x=logae/x。

可以知道,當a=e時有y=lnx y'=1/x。

這時可以進行y=x^n y'=nx^(n-1)的推導了。因為y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,

所以y'=e^nlnx�6�1(nlnx)'=x^n�6�1n/x=nx^(n-1)。

5.y=sinx

⊿y=sin(x+⊿x)-sinx=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)

⊿y/⊿x=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/⊿x=cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/(⊿x/2)

所以lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0cos(x+⊿x/2)�6�1lim⊿x→0sin(⊿x/2)/(⊿x/2)=cosx

6.類似地,可以匯出y=cosx y'=-sinx。

7.y=tanx=sinx/cosx

y'=[(sinx)'cosx-sinx(cosx)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x

8.y=cotx=cosx/sinx

y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x

9.y=arcsinx

x=siny

x'=cosy

y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2

10.y=arccosx

x=cosy

x'=-siny

y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2

11.y=arctanx

x=tany

x'=1/cos^2y

y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2

12.y=arccotx

x=coty

x'=-1/sin^2y

y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2

另外在對雙曲函式shx,chx,thx等以及反雙曲函式arshx,archx,arthx等和其他較複雜的複合函式求導時通過查閱導數表和運用開頭的公式與

4.y=u土v,y'=u'土v'

5.y=uv,y=u'v+uv'

均能較快捷地求得結果。

對於y=x^n y'=nx^(n-1) ,y=a^x y'=a^xlna 有更直接的求導方法。

y=x^n

由指數函式定義可知,y>0

等式兩邊取自然對數

ln y=n*ln x

等式兩邊對x求導,注意y是y對x的複合函式

y' * (1/y)=n*(1/x)

y'=n*y/x=n* x^n / x=n * x ^ (n-1)

冪函式同理可證

導數說白了它其實就是斜率

上面說的分母趨於零,這是當然的了,但不要忘了分子也是可能趨於零的,所以兩者的比就有可能是某一個數,如果分子趨於某一個數,而不是零的話,那麼比值會很大,可以認為是無窮大,也就是我們所說的導數不存在.

x/x,若這裡讓x趨於零的話,分母是趨於零了,但它們的比值是1,所以極限為1.

建議先去搞懂什麼是極限.極限是一個可望不可及的概念,可以很接近它,但永遠到不了那個岸.

並且要認識到導數是一個比值.

2樓:鄞青甕全

1.理解導數的概念及可導性與連續性之間的關係,瞭解導數的幾何意義,會求1.理解原函式與不定積分的概念,掌握不定積分的基本性質和基本積分公式;

考研數學三由引數方程所確定的函式的導數考嗎

3樓:度小聰聰

大綱上說了解即可,基本上可以不用看了