怎麼證明偏導數存在,怎樣判斷偏導數是否存在

時間 2023-01-25 08:33:14

1樓:

這類問題一般都是證明在某點處偏導數存在,注意這時切記不能使用求導公式,以一元函式為例,這是因為用求導公式計算出來的導函式f'(x)往往含有間斷點,在間斷點x0處f'(x)無意義,但這不意味著f'(x0)一定不存在,例如f(x)=(x^2)sin(1/x)

x≠0=0

x=0可以驗證在可去間斷點x=0處,導函式f'(x)無意義,但f'(0)=0存在。

正確方法是用偏導數的定義來驗證,偏導數是通過極限來定義的,按定義寫出某點(x0,y0)處偏導數的極限表示式(以對x的偏導數為例)lim[f(x,y0)-f(x0,y0)]/(x-x0)(x趨於x0),然後用極限的相關知識來考察這個極限是否存在,這極限是否存在和該點處偏導數是否存在是一致的,因此證明偏導數存在的任務就轉化為證明極限存在,這可以通過以下兩種途徑解:1,根據極限運演算法則求出該極限,只要能求出極限的具體值,就等於證明了極限存在,而不用再費事去證明了;2,如果極限不容易求出,可以考慮用極限存在的準則去證明(例如夾逼準則)極限存在。(如果證明偏導數不存在則用極限的相關理論證明該極限不存在即可)

多說一點,在確定某點處偏導數存在的基礎上,往往還要討論偏導數在該點是否連續,這時才是用求導公式的時候,用求導公式計算出導函式f'x(x,y),這是一個關於x和y的二元函式,求(x0,y0)處二元函式f'x(x,y)的極限,如果這個極限存在且等於該點處的偏導數值,則偏導數連續,否則不連續。

2樓:天紫色角落

用定義證明啊,用定義能求出來值就說明存在

3樓:張雲蕭

對x的一階導數

r(x)=(1/2)*(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)*2x

=x*(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)

對y的一階導數

r(y)=y*(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)

對z的一階導數

r(z)=z*(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)

二階偏導函式

r(xx)=(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)-(1/2)x*(x^2+y^2+z^2)^(-3/2)*2x

=(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)-x^2*(x^2+y^2+z^2)^(-3/2)

r(yy)=(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)-y^2*(x^2+y^2+z^2)^(-3/2)

r(zz)=(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)-z^2*(x^2+y^2+z^2)^(-3/2)

r(xx)+r(yy)+r(zz)=(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)-x^2*(x^2+y^2+z^2)^(-3/2) +(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)-y^2*(x^2+y^2+z^2)^(-3/2) +(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)-z^2*(x^2+y^2+z^2)^(-3/2)

=3(x^2+y^2+z^2)(-1/2)-(x^2+y^2+z^2)(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)*(x^2+y^2+z^2)^(-1)

=3(x^2+y^2+z^2)(-1/2)-(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)

=2(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)

=2/r

怎樣判斷偏導數是否存在

4樓:關鍵他是我孫子

用偏導數的定義來驗證:

1、偏導數是通過極限來定義的,按定義寫出某點(x0,y0)處偏導數的極限表示式。

2、(以對x的偏導數為例)lim[f(x,y0)-f(x0,y0)]/(x-x0)(x趨於x0)。

3、然後用極限的相關知識來考察這個極限是否存在。

4、這極限是否存在和該點處偏導數是否存在是一致的,因此證明偏導數存在的任務就轉化為證明極限存在。

5樓:駱友

這類問題一般都是證明在某點處偏導數存在,注意這

時切記不能使用求導公式,以一元函式為例,這是因為用求導公式計算出來的導函式f'(x)往往含有間斷點,在間斷點x0處f'(x)無意義,但這不意味著f'(x0)一定不存在,例如f(x)=(x^2)sin(1/x) x≠0

=0 x=0

可以驗證在可去間斷點x=0處,導函式f'(x)無意義,但f'(0)=0存在.

正確方法是用偏導數的定義來驗證,偏導數是通過極限來定義的,按定義寫出某點(x0,y0)處偏導數的極限表示式(以對x的偏導數為例)lim[f(x,y0)-f(x0,y0)]/(x-x0)(x趨於x0),然後用極限的相關知識來考察這個極限是否存在,這極限是否存在和該點處偏導數是否存在是一致的,因此證明偏導數存在的任務就轉化為證明極限存在,這可以通過以下兩種途徑1,根據極限運演算法則求出該極限,只要能求出極限的具體值,就等於證明了極限存在,而不用再費事去證明了;2,如果極限不容易求出,可以考慮用極限存在的準則去證明(例如夾逼準則)極限存在.(如果證明偏導數不存在則用極限的相關理論證明該極限不存在即可)

多說一點,在確定某點處偏導數存在的基礎上,往往還要討論偏導數在該點是否連續,這時才是用求導公式的時候,用求導公式計算出導函式f'x(x,y),這是一個關於x和y的二元函式,求(x0,y0)處二元函式f'x(x,y)的極限,如果這個極限存在且等於該點處的偏導數值,則偏導數連續,否則不連續.

6樓:aa王哥

直接從定義驗證

可微偏導必存在

怎麼判斷偏導數是否存在

7樓:董茜沈**

用偏導數的定義

來驗證:

1、偏導數是通過極限來定義的,按定義寫出某點(x0,y0)處偏導數的極限表示式。

8樓:虔誠的圖騰

多元函式關於在x0處的偏導數存在的充要條件就是。

(t趨於0)lim [f(x0+t)-f(x0)]/t存在,對於其他的自變數也是一樣的道理。多元函式可偏導與連續是非必要亦非充分關係。

例如:z = (x+1) |y| 在(0,0)點,對x 的偏導數存在,fx'(0,0) = 0,

對y 的偏導數不存在,因為 fy'+(0,0) = 1,fy'-(0,0) = -1

此時,需要說明該函式“對x 的偏導數存在,對y 的偏導數不存在”.

拓展資料:

在數學中,一個多變數的函式的偏導數,就是它關於其中一個變數的導數而保持其他變數恆定(相對於全導數,在其中所有變數都允許變化)。偏導數在向量分析和微分幾何中是很有用的。

在一元函式中,導數就是函式的變化率。對於二元函式研究它的“變化率”,由於自變數多了一個,情況就要複雜的多。

在 xoy 平面內,當動點由 p(x0,y0) 沿不同方向變化時,函式 f(x,y) 的變化快慢一般說來是不同的,因此就需要研究 f(x,y) 在 (x0,y0) 點處沿不同方向的變化率。

9樓:瞿冷農英博

這類問題一般都是證明在某點處偏導數存在,注意這時切記不能使用求導公式,以一元函式為例,這是因為用求導公式計算出來的導函式f'(x)往往含有間斷點,在間斷點x0處f'(x)無意義,但這不意味著f'(x0)一定不存在,例如f(x)=(x^2)sin(1/x)

x≠0=0

x=0可以驗證在可去間斷點x=0處,導函式f'(x)無意義,但f'(0)=0存在.

正確方法是用偏導數的定義來驗證,偏導數是通過極限來定義的,按定義寫出某點(x0,y0)處偏導數的極限表示式(以對x的偏導數為例)lim[f(x,y0)-f(x0,y0)]/(x-x0)(x趨於x0),然後用極限的相關知識來考察這個極限是否存在,這極限是否存在和該點處偏導數是否存在是一致的,因此證明偏導數存在的任務就轉化為證明極限存在,這可以通過以下兩種途徑1,根據極限運演算法則求出該極限,只要能求出極限的具體值,就等於證明了極限存在,而不用再費事去證明了;2,如果極限不容易求出,可以考慮用極限存在的準則去證明(例如夾逼準則)極限存在.(如果證明偏導數不存在則用極限的相關理論證明該極限不存在即可)

多說一點,在確定某點處偏導數存在的基礎上,往往還要討論偏導數在該點是否連續,這時才是用求導公式的時候,用求導公式計算出導函式f'x(x,y),這是一個關於x和y的二元函式,求(x0,y0)處二元函式f'x(x,y)的極限,如果這個極限存在且等於該點處的偏導數值,則偏導數連續,否則不連續.

10樓:匿名使用者

1,初等函式偏導數肯定都存在

2,判斷左右偏導數是否相等

3,用定義 判斷是否符合定義

多元函式關於在x0處的偏導數存在的充要條件就是(t趨於0)lim [f(x0+t)-f(x0)]/t存在,對於其他的自變數也是一樣的道理

多元函式可偏導與連續是非必要亦非充分關係

11樓:tpu薄膜專賣

連續是要在點(0,0)的一個鄰域內所有值都相等,當以直線y=kx靠近時,顯然與k值有關,所以不連續。對x的偏導存在只需在x軸方向上鄰域內的值相等就行,所以存在。對y同理。

求定義證明偏導數存在

12樓:匿名使用者

^按題來

目的要求還是要補源充原點的定義,f(0,0)=0化為極座標bai

f=(r^4* (sin(2θ)/2)^du2)/ r^3=1/4 *r (sin(2θ))^2

觀察函式影象zhi,結合定義,是不難證明函式的dao連續性(|f(x)|

高數 證明偏導數存在 10

13樓:匿名使用者

fx(0,0)=lim(x->0)[f(x,0)-f(0,0)]/x=lim(x->0)[0-0]/x

=0同理

fy(0,0)=0

所以偏導數存在。

偏導數怎麼證明不存在?能不能給一個詳細點的例題?

14樓:漂亮

導數和偏導沒有本bai質區別

du,都是當自變數的變化

zhi量趨於dao0時,函式值的變化量

與自版變數變化量比值的權極限(有過極限存在的話).

一元函式,一個y對應一個x,導數只有一個.連續函式必有原函式。

二元函式,一個z對應一個x和一個y,那就有兩個導數了,一個是z對x的導數,一個是z對y的導數,稱之為偏導.

求偏導時要注意,對一個變數求導,則視另一個變數為常數,只對改變數求導,從而將偏導的求解轉化成了一元函式的求導了

微積分中如何才能說明這個證明證明了偏導數的存在?即證明偏導數的存在需要某個證明得出什麼結果,才能說

15樓:匿名使用者

偏導數存在條件和導數存在條件一樣,只要按照各個方向[f(x+dx,y) - f(x,y)]/dx當dx趨於0時極限存在且相等即可

16樓:李雲峰

設y=kx+b經過這個點

如何證明二元函式的二階偏導數存在

17樓:匿名使用者

用一階導函式來證,去看看二階偏導數的定義。如果是區域性,也可以用極限形式來做驗證。