大一高數微分方程的通解問題(1)xy 1 e y(2)yy xe x

時間 2023-01-25 08:27:13

1樓:匿名使用者

1) 設u=e^y

y=lnu

dy/dx=(dy/du)×(du/dx)=(du/udx)從而 xdu/udx+1=u

移項 xdu/udx=u-1

即 du/[u(u-1)]=dx/x積分得 ln[1-(1/u)]=lnx+c11-(1/u)=x+c'

x+c=-1/u

e^y=-1/(x+c)

y=ln[-1/(x+c)]

2) 特徵方程為 λ²-1=0

特徵根為 λ=±1

從而得到該方程的一組基礎解組 e^x, e^(-x)設該方程有如下形式的特解 y* =x(ax+b)e^(-x)代入原方程得 -(4ax+2b)e^(-x)+2ae^(-x)=xe^(-x)

解之得 a=-1/4 b=-1/4從而得到該方程的通解為

y=c1e^x+c2e^(-x)-[(x²+x)e^(-x)]/4

2樓:

1)xdy/dx=e^y-1

dy/(e^y-1)=dx

d(e^y)[1/(e^y-1)-1/e^y]=dx積分:ln|(e^y-1)/e^y|=x+c1(e^y-1)/e^y=ce^x

y=-ln(1-ce^x)

2) 特徵根為:1, -1, 因此通解為:y1=c1e^x+c2e^(-x)

特解可設為:y2=x(ax+b)e^(-x)y2'=(2ax+b-ax^2-bx)e^(-x)y2"=(2a-4ax-2b+ax^2+bx)e^(-x)代入原方程:2a-4ax-2b=x

比較係數得:2a-2b=0, -4a=1, 得:a=b=-1/4,因此原方程通解為:y=y1+y2=c1e^x+c2e(-x)-x(x+1)/4* e^(-x)

【大一高數】求微分方程x^2y'=(x-1)y的通解。

3樓:匿名使用者

分離變數就可以了。整理方程得到:

dy/y=(x-1)dx/x²=[(1/x)-(1/x²)]dx兩邊積分,得到:

lny=(lnx)+(1/x)+c……

專…………c為任意常數

兩邊同時作屬為e的指數,消去對數函式得到:

y=dx · exp(1/x)………………d=e的c次方,亦為任意常數;exp(1/x)表示e的(1/x)次方

求常微分方程的通解 y''-2y'+y=(1/x)e^x

4樓:匿名使用者

因為y = e^x 是齊次方程copy的解bai,根據常數變易法可令 y = e^dux * v.

求導有zhi,

y' = e^daox (v' + v)

y'' = e^x (v'' + 2v' + v).

代入原方程有

e^x (v'' + 2v' + v) - 2 * e^x (v' + v) + e^x v = e^x/x

==> v'' = 1/x

兩邊同時積分:

v' = ln x + a'

==> v = (x ln x - x) + a'x + b, 根據分部積分

==> v = x ln x + ax + b, 其中 a = a' - 1.

因此, y = e^x * v = xe^x ln x + (ax + b)e^x.