隱函式求導,求詳細過程,隱函式求導詳細例題

時間 2023-01-25 08:24:15

1樓:立港娜娜

對於一個已經確定存在且可導的情況下,我們可以用複合函式求導的鏈式法則來進行求導。在方程左右兩邊都對x進行求導,由於y其實是x的一個函式,所以可以直接得到帶有y'的一個方程,然後化簡得到y'的表示式。

隱函式求導法則:

隱函式導數的求解一般可以採用以下方法:

方法①:先把隱函式轉化成顯函式,再利用顯函式求導的方法求導;

方法②:隱函式左右兩邊對x求導(但要注意把y看作x的函式);

方法③:利用一階微分形式不變的性質分別對x和y求導,再通過移項求得的值;

方法④:把n元隱函式看作(n+1)元函式,通過多元函式的偏導數的商求得n元隱函式的導數。

舉個例子,若欲求z = f(x,y)的導數,那麼可以將原隱函式通過移項化為f(x,y,z)=0的形式,然後通過(式中f'y,f'x分別表示y和x對z的偏導數)來求解。

隱函式與顯函式的區別:

1)隱函式不一定能寫為y=f(x)的形式,如x²+y²=0。

2)顯函式是用y=f(x)表示的函式,左邊是一個y,右邊是x的表示式。比如:y=2x+1。隱函式是x和y都混在一起的,比如2x-y+1=0。

3)有些隱函式可以表示成顯函式,叫做隱函式顯化,但也有些隱函式是不能顯化的,比如e^y+xy=1。

2樓:朋秀梅貝水

兩邊對x進行求導的時候出錯了,既然把y看成是x的函式,那麼x^2+y^2的導數就應該是2x+2yy'。不能將y‘提到外面,因為y^2的導數就是2yy'。

3樓:匿名使用者

求法之一的詳細過程如下圖:

4樓:一個人郭芮

z=x²+y²

那麼求導得到

z'x=2x +2y *y'x

而x²-xy+y^3=1

於是求導得到2x-y-xy'+3y² *y'=0即y'=(y-2x)/(3y²-x)

再求二階導數,y''=[(y'-2)(3y²-x) -(y-2x)(6y*y'-1)]/(3y²-x)²

=[(3y²y'-6y²-xy'+2x) -(6y²*y'-12xyy'-y+2x)]/(3y²-x)²

=( -3y²y'-6y²-xy'+12xyy'+y)/(3y²-x)²

隱函式求導詳細例題

5樓:

設方程p(x,y)=0確定y是x的函式,並且可導,可以利用複合函式求導公式求出隱函式y對x的導數。

例:方程 x2+y2-r2=0確定了一個以x為自變數,以y為因變數的數,為了求y對x的導數,將上式兩邊逐項對x求導,並將y2看作x的複合函式,則有:

(x2)+(y2)-(r2)=0,即2x+2yy'=0,於是得y'=-x/y 。

從上例可以看到,在等式兩邊逐項對自變數求導數,即可得到一個包含y'的一次方程, 解出y'即為隱函式的導數。

擴充套件資料

1、例:求由方程y2=2px所確定的隱函式y=f(x)的導數。

解: 將方程兩邊同時對x求導,得:2yy'=2p

解出y'即得y'=p/y

2、例:求由方程y=x ln y所確定的隱函式y=f(x)的導數。

解:將方程兩邊同時對x求導,得y’=ln y+xy' /y,解出y'即得 。

隱函式導數的求解可以採用以下方法:

先把隱函式轉化成顯函式,再利用顯函式求導的方法求導;隱函式左右兩邊對x求導(但要注意把y看作x的函式);利用一階微分形式不變的性質分別對x和y求導,再通過移項求得的值;把n元隱函式看作(n+1)元函式,通過多元函式的偏導數的商求得n元隱函式的導數。